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認識數(shù)學問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
認識數(shù)學問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
錢桂保
�。ńK省南京市臨江高級中學，江蘇南京210000）
摘要：對數(shù)學中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解，弄清數(shù)學概念、知識間的內(nèi)在關聯(lián)，是數(shù)學問題解決的必不可少的前提。解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程，通過這種探究體驗到考題命制的源與流，感受到了數(shù)學的魅力。
關鍵詞：數(shù)學問題；解題；探究方法
數(shù)學問題的解決需要綜合運用數(shù)學基礎知識，如運用數(shù)學中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等，并進行合理的判斷、推理、演算，因此，對數(shù)學中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解，弄清數(shù)學概念、知識間的內(nèi)在關聯(lián)，是數(shù)學問題解決的必不可少的前提。隨著學習的深入，理解的深度加深，必然會對問題順利、快速解決有積極的影響，理解越是深刻，產(chǎn)生的解法越簡單。
例1.已知函數(shù)f（x）=x2+x+a，（a>0），若f（m）<0，試判斷f（m+1）的符號？
解法一：∵f （m）<0，代入得：m2+m+a<0，即∴m2+m<-a，因為a>0，所以m2+m<0，解得-1<m<0�！鄊+1>0而（f m+1）＝（m＋1）2+（m＋1）+a，其中的每一項均大于0，∴f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號是正。
上述的解法實質(zhì)是通過f（m+1）的表達式的符號判斷的，但這種解法并不能刻畫此題的背景和實質(zhì)，那么這題的本質(zhì)究竟是什么呢？我們來看解法二。
解法二：若設f（x）=x2+x+a≤0的解集為A，那么由f（m）<0知m∈A，而要判斷f（m+1）的符號就相當于判斷m+1是否是集合A中的元素。
既然認識到了本題的實質(zhì)就是判斷m+1與解集A的關系，那么有沒有更加直觀、更加簡潔的解法呢？若能直接判斷數(shù)m+1與解集A的歸屬關系，那無疑是最簡單的方法了，正因如此讓我們想到數(shù)形結合。
解法三：如下圖所示，由于f（x）=x2+x圖像與x軸交點之間的距離MO＝1，∵a>0∴f（x）=x2+x+a圖像與x軸交點之間的距離AB＜1，由于f（m）<0知：m在區(qū)間（A，B）之間，但m+1必在B右邊，因此：f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號是正。
由上可以知道，抓好基本概念的理解，了解其內(nèi)涵和外延，積極探索數(shù)學命題的本質(zhì)，隨著我們對命題的理解的深刻，必然就會產(chǎn)生更加簡單的解法。
例2：在等差數(shù)列｛an｝中，若它的前m項的和Sm=Sn，（m≠n），試求Sm+n的值。
初看本題，涉及到等差數(shù)列概念，自然想到用基本量來解決，即：
解法一：∵｛an｝是等差數(shù)列，且首項為a1，不妨設其公差為d，
誠然，用基本量的方法解決等差或等比數(shù)列是一種通性通法，思路自然，結果正確，但計算較為煩瑣。若要探討它有沒有更加簡單的解法，這就需要我們對本題的本質(zhì)更加深刻的理解。事實上，本題的本質(zhì)并不是等差數(shù)列概念，而是對等差數(shù)列的若干項和的認識，若對等差數(shù)列的前n項和的認識深刻些，如解法二，顯然過程自然簡單些，計算量也小一些了。
解法二：設Sn＝An2+Bn，Sm=Am2+Bm，
∴Sn-Sm=（An2+Bn）-（Am2+Bm）=（n-m）[A（n+m）+B]=0
即A（n+m）+B=0
而Sm+n=（m+n）[A（n+m）+B]，∴Sm+n=0。
本題主要是針對等差數(shù)列前n項和Sn＝An2+Bn的結構特點進行計算，明顯簡單。若換一個角度來審視Sn＝An2+Bn這一表達式，就會產(chǎn)生出新的解法來，即：
解法三：若考察相對應的函數(shù)Sn=Ax2+Bx，
∵Sm＝Sn，它的對稱軸是x= m+n/2，又∵函數(shù)Sn（x）的圖像過坐標原點（0，0），∴它必過另一點（m+n，0），即Sm+n=0.
解法三實質(zhì)上是采用數(shù)形結合思想方法進行探究的一種解法，過程明顯簡潔快捷。通過上述幾種不同解法中，不難發(fā)現(xiàn)，隨著對本題的本質(zhì)Sn認識的深刻，由此產(chǎn)生的解法也更加簡單些，可見，不同的思維層次，所產(chǎn)生的解題方法也不同，理解越深刻，解法也就越簡單。
通過上面的論述，對我們的學習有所啟示，有所觸動，這就是我們要加強理解，不能停留在概念的表面，還要加強理解的深入，認識到概念的本質(zhì)，既要縱向，還要橫向，例如高中數(shù)學教材中P的不等式題，我們一起來橫向理解這道題所蘊含的函數(shù)本質(zhì)。
例3.已知a，b，m都是正數(shù)，且a<b，求證
這道題的生活背景大家都很清楚，即“杯子里裝有b克糖水，其中含有a克糖的，若在糖水里再添加m克糖（假設全部融解），那么糖水將會變得更甜”這一變化的一種數(shù)學反映，本題的證明，既可用分析法，還可構造斜率加以證明，這里不再贅述。
下面我們討論對此題所蘊含的函數(shù)本質(zhì)的探討。我們知道，不等式（或方程）與函數(shù)是密切相關，緊密聯(lián)系的，用函數(shù)的觀點解決不等式（或方程）是一種普遍的思維模式，如何揭示出此題所給的不等式與某個函數(shù)間的超級鏈接，是這一解法的關鍵。顯然這個等
由此可見，這種用函數(shù)證明不等式的解法，需要對相應函數(shù)的深入認識。以后在解題過程中遇到類似的不等式證明問題，可以通過橫向的對應函數(shù)加以深入研究，探究相應不等式的問題的有效解決。
由于變量的選取是自主的，因此相對應的函數(shù)的構造可能不止一種，其表達的形式也是多樣的，但最終結果卻是一致的，這在證法一、證法二中得到體現(xiàn)。事實上，解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程，通過這種探究體驗到考題命制的源與流，感受到了數(shù)學的魅力！
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