小學數(shù)學教育改革趨勢——第五屆國際數(shù)學教育會議討論簡介

第五屆國際數(shù)學教育會議于1984年8月在澳大利亞的阿得雷德市舉行。會上小學組就小學數(shù)學教育方面的問題，分成7個小組進行討論，每個小組討論一個專題。下面對討論的情況做一簡單介紹。

一 整數(shù)計算和估算

　　有幾個國家的代表反映，課堂教學往往集中注意基本的計算技能，忽視較高水平的計算方法，其中包括口算和估算。而且教學往往太形式化，死板，很少注意與舊知識的聯(lián)系和應用。由于有了計算器，有一些數(shù)學教育家和教育行政人員，很少提計算的目標，而提出更多發(fā)展性的教學項目。

　　小組的參加者集中討論了與基本式（指20以內加減法和表內乘除法）有關的教材和學習問題。一致同意掌握基本式是非常重要的。還認為教師應當設法培養(yǎng)學生的概括能力、掌握數(shù)量關系和思考方法，以幫助兒童學會基本式。而關鍵之一是要注意基本概念、思考方法和計算的擴展之間的聯(lián)系。而這些思考方法對于計算方法、口算和估算都應當是有用的。

　　關于整數(shù)計算，一種主張是筆算、電子計算（計算器）和口算三者的教學應當保持平衡。但是大多數(shù)認為，要對估算給予更大的注意。有些人主張取消數(shù)目較大的除法；另外一些代表認為，教各種筆算方法有可能導致較為自然地應用于口算和估算。

　　關于估算，都認為兒童應當有效地掌握它并能應用，應當強調計算速度，提出合理的答案，心里算出來。需要使兒童掌握廣泛多樣的方法，能根據(jù)具體情況來使用估算。認為估算和心算的教學宜于早一點開始，與各種計算教學密切結合起來。估算的教學內容包括以下幾方面：高位計算（如465＋275，算400＋200=600，其余的大約是100，所以得700），湊整（四舍五入），把幾個數(shù)分組使計算簡便，把一些數(shù)群集起來采用平均數(shù)等。

二 比、小數(shù)和分數(shù)

　　關于比的知識，有的國家孩子七八歲時就開始介紹初步的觀念，到十一歲左右進一步介紹線性概念。他們認為使兒童獲得不同數(shù)量間的比的概念需要較長的時間。有的代表說明在教科書中怎樣用游戲來介紹比；有的代表則用建筑物的圖畫和讓學生畫比例尺來介紹比；還有的舉密度、竿影等說明各種各樣的比。大家認為，比應當是小學數(shù)學中的一個基本概念，因為它在物理、化學、生物以及數(shù)學的某些領域，如概率、相似及三角等方面的應用是非常重要的。大家有一個總的批評意見，就是現(xiàn)行大綱太重視數(shù)學本身，而忽視它同兒童現(xiàn)實的聯(lián)系。

　　

　　改寫成小數(shù)，四分之一的學生寫成3.10。當要求把0.9寫成分數(shù)時，錯寫成

　　認為0.5大于0.42。調查材料說明，很多學生不會把小數(shù)跟位置值或分數(shù)的部分——整體概念聯(lián)系起來。因此教學中最緊迫的問題是幫助學生理解小數(shù)的意義。

　　關于分數(shù)，有人對先教分數(shù)乘法還是先教分數(shù)加法進行了實驗研究。結果表明，先教分數(shù)加法學生錯誤少，因為分數(shù)乘法要由分數(shù)連加導出。有人主張應把分數(shù)既看作算子（分的動作），又看作數(shù)量（分的結果）。有人認為教有理數(shù)用集合和數(shù)軸來說明比用實物和平面區(qū)域來說明要困難些，因此建議把用集合和數(shù)軸說明放到后面。等價分數(shù)和等價小數(shù)也是較難的課題，需要在理解分數(shù)、小數(shù)的意義上增加教學時間。會上還有人提出，分數(shù)的計算應當簡單一些（數(shù)目要小，分母要容易算）。有人提出帶分數(shù)的重要性問題，結論是帶分數(shù)的運算的重要性已經下降了。

　　總起來說，純數(shù)字的處理和法則的形式化過早進入數(shù)學教育，破壞了兒童從現(xiàn)實生活經驗中獲得的初步觀念。因此，不應過早地教兒童法則，讓他們用一些無意義的符號進行無意義的運算。

三 解應用題問題

　　這個組談到的主要問題有：兒童是怎樣解應用題的？是什么原因使解應用題發(fā)生困難？關于解應用題的教學，我們知道了什么，還需要知道什么？在解應用題的教學中存在什么問題？

　　有人研究，許多兒童能在校外（如市場上）解實際問題，而且能用不同的方法去解，卻不能在學校里解相似的應用題。因為在市場上他們所對付的是各種量，而在學校里他們所對付的較多的是符號。還有人研究，兒童在學校里解應用題時不是徹底思考問題，而是希望“抓”到答案。學校里的教學方法似乎壓抑了兒童解應用題的能力。因此在討論中大家一致同意：1.教師必須幫助兒童弄清應用題中的語言與數(shù)量之間的聯(lián)系；2.應當減少對算法的重視，而更多地重視運算的意義；3.在教學生解應用題時不應當用關鍵詞如“還�！薄ⅰ耙还病钡�。但是也指出，解應用題時有一部分是語言活動，也需要幫助學生解釋應用題的語言，使他們了解數(shù)量關系，而不是找運算和關鍵詞之間的聯(lián)系。

　　還有人研究解應用題的重要組成部分。認為在解應用題時必須分析數(shù)量關系并弄清它們的模式，以便找出解法。研究表明，改變一個簡單應用題的結構，既能影響題目的難度，又能影響解題的方法。他建議要討論數(shù)量間的關系，重視運算的意義，并提供大量的各種不同的應用題。

　　有人提出下面的一些做法，對兒童解應用題是有益的：1.注意動作（如放在一起，比較）；2.注意部分——部分——整體間的關系；3.用較小的數(shù)目來敘述原題；4.畫圖和操作；5.根據(jù)應用題中的數(shù)目來考慮答案的范圍。

　　而下面的做法對兒童是無益的：1.指導兒童識別所給的數(shù)據(jù)；2.指導兒童識別所問的問題；3.用很少的字重述這道題。

　　認為應當鼓勵兒童用計算器計算，以便能把注意力集中在解答方法上而不是在計算上。

　　最后，討論者都同意，需要給兒童豐富多樣的題型。如果教師要順利地幫助兒童成為較好的解題者，就必須把注意力不放在教兒童“訣竅”上，而放在發(fā)展數(shù)學思維上。

四 小學幾何

　　有代表反映，小學里分配給幾何教學的時間太少，幾何好象引起很多問題，遠不如數(shù)的方面那樣明確。還指出，傳統(tǒng)的幾何概念極大地影響著教學內容。例如，在法國幾何教學的目的不是發(fā)展空間觀念，而是介紹演繹推理。

　　在幾個國家做了一些實驗，研究幾何體的性質，在平面上呈現(xiàn)三維物體的方法，幾何圖形的理解和處理，以及文化對形的概念的影響。表明簡單的感知活動并不是對現(xiàn)象復制，而是兒童創(chuàng)造的結果。幾何教學必須由兒童自己去揭示各種空間現(xiàn)象的概念，并去發(fā)現(xiàn)如何做才容易展示這些概念，以增進對空間的理解。

　　有的代表強調，要使用各種教學材料來發(fā)展兒童的空間能力。例如，用鏡子來學習圖形的反射；用折紙學習圖形的旋轉、對稱等概念，面積的守恒以及周長的變化；用各種形狀的盒子來認識三維圖形同它們的二維表示之間的關系。

　　有的代表提出要幫助教師改進幾何教學，為他們編專門的書籍，使他們了解幾何基礎知識，并提出組織幾何課堂教學的建議。

　　最后強調以下幾點：

　　1.要提供能夠吸引學生的教學材料，應把三維的教學材料放在二維的教學材料之前。

　　2.所設計的教學材料要使兒童花些時間去探索和創(chuàng)建模型，并自己糾正錯誤。

　　3.在探索階段之后，所有的活動都應仔細地組織。

　　4.教師要做好教學活動的計劃，要觀察兒童的操作，聽他們在說什么，并向他們提問，以便幫助他們學習。

　　5.所有這些都牽涉到教師的培訓。教師必須具有使用這些教學材料的體驗，以便他們自己弄清楚概念。教師在計劃和制備教學材料時，需要得到校長和其他教師的幫助。

五 代 數(shù)

　　與會者著重研究的問題有：小學教學代數(shù)的意義是什么？代數(shù)教學的目的怎樣提比較適當？代數(shù)教學研究的關鍵問題是什么？

　　大家認為代數(shù)至少有三個部分：1.從現(xiàn)實到代數(shù)概念；2.開始認識代數(shù)式并明了其可能的“現(xiàn)實”意義；3.從一個代數(shù)式到另一個代數(shù)式。并一致認為第三部分在小學階段是不重要的，或是不適當?shù)�。認為在小學進行代數(shù)思維比較好，因為它很少是正式講的，也很少是符號的。但是在小學應當教給兒童符號，還是應當鼓勵兒童自己解題，有不同看法。研究報告說明，對兒童進行教學是成功的，但不能用傳統(tǒng)的中學代數(shù)的教學方法。

　　對兒童進行代數(shù)教學最適宜的活動是尋找，表述，概括范型，用圖畫、圖表和符號形式來表示概括。所有這些都有助于逐漸增加對函數(shù)和變量的認識。認為給學生說幾個數(shù)（如0，1，5，4），然后告訴他們計算的結果（如3，5，13，11），再讓他們猜出計算的規(guī)律（如把一個數(shù)乘以2再加3），很有好處。

　　與會者一致認為，代數(shù)教學與小學數(shù)學其他內容的教學方法相同，即給學生任務后，讓學生通過討論建立起這方面的經驗。代數(shù)教學應當有計劃、有目的地進行。同時也有一些任務需要進一步研究，如：在小學階段怎樣呈現(xiàn)概念和使概念符號化才便于理解，小學代數(shù)除了為中學代數(shù)做準備外，是否還有更多的目的等。

六 微型計算機和計算器的使用

　　與會者主要研究以下幾個問題：

　　1.如何能用微型計算機診斷學生的錯誤？2.如何研制軟件以引起數(shù)學學習和發(fā)展概念？3.計算機教育的現(xiàn)狀是什么？4.怎么使用計算器？

　　有人認為，把診斷編入計算機輔助教學材料中在目前還處在原始階段。他舉出編造診斷程序的步驟如下：1.明確定出診斷的內容；2.確定為這項內容進行的課程練習；3.列舉出可能出現(xiàn)的錯誤；4.在學生答案的基礎上研究如何說明錯誤；5.記錄一些學生的演算情況；6.提出補救可能成功的辦法；7.對程序做必要的修改。

　　有人具體介紹了使用計算機輔助教學的內容和方法。如用于教學幾何知識，估計長度，理解和使用變量，學習和使用坐標系，解應用題等。有人認為除了少數(shù)高年級的天才生外，一般不宜教編程序。但是許多參加者認為，應該教編程序以加強數(shù)學的學習。

　　關于計算器，一位代表介紹說已在很多國家中使用。1982年在美國，75％的五年級學生使用計算器；1984年在英國，87％的五年級學生使用計算器。英國的一份報告中建議，要在各階段都利用計算器和計算機。但是要注意計算器對數(shù)學課程的效果，特別是掌握一位數(shù)計算和估算技能還是很重要的，因為用它們可以判斷用計算器算出的答案是否合理。無論是計算器還是計算機，如何有效地使用還需要進一步研究。

七 教學的手段和方式

　　會上討論了各種教學手段（一般環(huán)境，有結構的情境，教科書）的相互關系，以及教學方式（教師，語言，學生的相互作用）。

　　有些代表強調，數(shù)學的學習應當以兒童的自然環(huán)境作為出發(fā)點。傳統(tǒng)的教學都是用木塊來說明各種運算。而在生活情境中（如坐公共汽車）學習數(shù)學，可以說明計算的意義就是把事件的過程記錄下來。但也有些代表主張用木塊來教學，認為它是使學習加快的手段，而演劇式的活動相對來說比較慢。還有的代表強調采用游戲可以使學生之間相互影響。

　　有的代表強調數(shù)學的學習應以有結構的情境作為出發(fā)點。幾何模型對于促進視覺范型的發(fā)展，以及對過渡到數(shù)的范型和數(shù)量關系的對應具有特殊的用途。例如，以建造模型為基礎的活動往往要求記錄、組織和解釋數(shù)據(jù)。最后學生要學會如何制表畫圖。這樣他們必須學習把各種結果聯(lián)系起來加以比較，并做出預言。幾何模型的活動可以培養(yǎng)解應用題的技能。討論表明，有結構的情境的范圍可以從日常生活到較為形式化的數(shù)學。

　　有的代表強調，在數(shù)學教學中要注意使用教科書，認為教科書有一個記錄的系統(tǒng)，從而可以使數(shù)學變得容易理解。教科書既是給兒童參考資料的來源，又是兒童活動的來源。同時也強調教師是媒介體。他們有數(shù)學知識，而且如果教師不愿意或不能處理變化了的情境，即使有好的教科書也不會產生多大變化。有人提出，如果微型計算機接替了練習的功能，同時還使用具體的教學材料以形成初步的概念，那么教科書可能就變成多余的了。但大多數(shù)人相信，還必須有教科書作為鼓舞的源泉，作為一種安全網，并作為學校數(shù)學課題的體現(xiàn)者。