不同學力水平的學生對高中數學符號學習的個案研究

不同學力水平的學生對高中數學符號學習的個案研究

　　在實際教學中，常聽到不少學生發(fā)出感嘆：數學太難學了!數學真的就那么難學嗎?為什么有的學生學起來如魚得水，而有的學生卻困難重重，積重難進?依據我們多年的教學實際和平常與學生的交流，深深體會到數學符號的學習和理解是造成一部分學生數學學習困難的一個相當重要的原因．那么優(yōu)秀的學生是如何學習和理解數學符號的，他們學習和理解的方式，對于其他學生的學習和我們教師有效地進行符號教學有何啟迪，而學習困難的學生學習和理解數學符號的障礙何在，教師應如何依據他們的困難進行教學，帶著這些問題，我們調查了洛陽某高中二年級部分不同學力水平的學生對數學符號的學習和理解情況．該高中是一所普通中學．下文中，Ｔ表示老師；Ａ１：男生，頭腦靈活，數學成績良好；Ａ２：男生，思想活躍但粗心，數學成績較好；Ａ３：女生，比較踏實，數學成績不錯；Ｂ１：男生，踏實，但反應較慢，數學學習有困難；Ｂ２：男生，思想活躍，但不愛學習數學；Ｂ３和Ｂ４均是女生，數學成績較差．

　　一、不同學力水平的學生學習數學符號的個案及其分析

　　1.不同學力水平的學生理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的個案研究

　　下面是筆者與兩位高中二年級學生之間就數學符號ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的一段對話：

　　T：在學習中你是如何區(qū)別ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的?

　　B１：不知道，經常把它們兩個弄混．

　　Ｔ：你是如何記憶它們的?

　　B１：主要按課本上學習它們的先后順序記憶，但后來總是弄混．

　�。粒保撼踔袑W過ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３等冪的表示形式，所以就想到形如ｙ＝ｘa的函數為冪函數，另一個就是指數函數．

　�。裕耗銈兡芊裾f出ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的性質?

　�。粒痹诩埳戏謩e畫出了ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３的圖象，依據ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３圖象說出ｙ＝ｘa的性質，而在說明ｙ＝ａx的性質時，則畫的是ｙ＝２x、ｙ＝３x的圖象．

　　B１：這兩個函數的性質是……

　　T：你能否畫圖說明?

　　此時Ｂ１努力地回憶這兩個函數的圖象，但把兩種圖象混在一起了．

　　2.關于理解直線ａ在平面α內和點Ａ在平面α內的數學符號表示的個案

　�。裕褐本�ａ在平面α內和點Ａ在平面α內用數學符號怎樣表示?

　�。粒玻海幡梁停痢师粒�

　　Ｂ２：ａα和Ａ∈α．

　�。拢常海帷师梁停痢师粒�

　�。拢矗海幡梁停力粒�

　�。裕簽槭裁催@樣表示?

　�。粒玻褐本�和平面都可以看做集合，點看做元素，在代數中集合與集合之間用表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。拢玻赫f不出來，反正老師是這樣教的．

　�。拢常狐c和直線都屬于平面吧．

　�。拢磩t畫出了直線和點在平面內的圖形．

　　學生Ｂ４、Ｂ３可能發(fā)現直線在平面內，點在平面內，與元素在集合內十分相似，于是就導致了錯誤的理解和聯想．

　　分析：（1）學力水平高的學生在理解和記憶數學符號時，善于運用自己學過的知識對新知識進行理解和主動加工，使抽象的數學符號被賦予了具體的含義和豐富的經驗背景，使新知對于自身來說是可以理解的．比如學生Ａ１在理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的概念和性質時，就能聯系到初中學過ｙ＝２x、ｙ＝３x的有關知識；而在第二個案例中學生Ａ２則聯想到代數中集合與集合之間、元素與集合之間的符號的表示，并通過對比和概括內化到自己原有的認知結構當中，從而就擴大了自己原有的認知結構，使原有認知結構更加清晰和有序．

　�。�2）學習困難的學生在理解數學符號時弄不清新舊知識之間的內在聯系，或者使新舊知識發(fā)生了錯誤的聯系，或者他們根本就沒有想去尋找新舊知識的聯系，換句話，學習困難的學生在學習數學符號時不理解符號的真正含義，既沒有要求理解數學符號意義的心向，也沒有掌握理解符號含義的方法，致使符號的外在表示和學生個體的內在經驗背景脫節(jié)，既被動學習又機械記憶，數學符號在個體的認知結構中散落堆積，既加重學習的負擔，又成了進一步學習的障礙．

　�。�3）高學力水平的學生在學習和理解數學符號時，能對新知識進行主動的分析和加工，因而在記憶數學符號時就能自覺對數學符號表示的相關內容進行處理，使自己認知結構中相關的概念、公式、定理形成了網狀排列，使新知識和舊知識保持了一定的連續(xù)性；而學習困難的學生的記憶基本是塊狀結構，即學什么就記什么，從不思考不同的數學符號所表達的相同的內容，它們記憶的大量數學符號是相互孤立的，即使有聯系也是混亂和松散的，有時還是錯誤的，因此在回憶和提取時往往顯得忙亂和無效．

　　3.不同學力水平的學生在解題中運用數學符號的個案研究

　　（1）Ｆ（ｘ）的定義域為（ｃ，ｄ），求函數Ｆ（２x）的定義域，其中ｃ＞０，ｄ＞０．

　�。�2）若Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，求Ｆ（ａn），其中ｎ∈Ｎ，ｂ≠０，ａ＞0，ａ≠1．

　　Ａ１：（１）因為ｃ＜ｘ＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，

　　即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ｔ，則ｌｏｇａx＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ．

　　所以Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ，Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　　Ｔ：為什么ｃ＜２x＜ｄ?

　�。粒保阂驗椋疲ǎ瞲）是關于ｘ的一個復合函數，根據復合函數的定義，函數ｕ＝２x的值域應滿足Ｆ（ｘ）的定義域．

　�。裕簽槭裁戳睿鴅＝ｔ，解出Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ？

　　Ａ１：要求Ｆ（ａn），必須把關于Ｆ（ｘ）的對應法則求出來．

　　Ａ２：（１）因為ｃ＜ｘ＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ａn，則ｌｏｇａx＝ｎ/ｂ，

　　則Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　　Ｔ：Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）中的ｘ含義相同嗎?

　�。粒玻弘m然都是ｘ，但它們的取值不同，在Ｆ（ｘ）中ｘ在（ｃ，ｄ）取值，而Ｆ（２x）中的ｘ取值應保證２x∈（ｃ，ｄ），所以兩個ｘ含義不同．

　�。拢保海�1）Ｆ（ｘ）的定義域是（ｃ，ｄ），即ｘ的取值范圍為（ｃ，ｄ），Ｆ（２x）中ｘ的取值范圍也為（ｃ，ｄ），所以Ｆ（２x）的定義域為（ｃ，ｄ）．

　　（2）Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，Ｆ（ａn）＝ｎ/ａnb．

　�。拢玻阂驗椋疲ǎ鴅）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ（ａnb）＝ｌｏｇａａn＝ｎ．

　　分析：（1）學力水平高的學生在理解Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）時是在理解Ｆ（ｘ）本質意義（它只是一個加工的手段和模具）的前提下，把Ｆ（ｘ）作為一個結構性概念來理解，因而能把Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）從結構上看作對應法則是相同的，從而得出ｃ＜２x＜ｄ，而在做第（2）題時，能夠從不同的表達式子中，發(fā)現內在相同的對應規(guī)則，比如?Ａ２認為Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx和Ｆ（ａn）具有相同的規(guī)則，因此要求Ｆ（ａn），必須把相關的對應法則求出來．

　�。�2）學力水平弱的學生看到符號，只能理解符號的表層的形式的意義，而體會不到其中的內在含義，比如Ｂ１認為Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）中的ｘ是相同的，因而取值范圍也應相同，不能從深層理解到Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）的對應法則相同，只是自變量不同而已，這也從一個側面反映出這一部分學生只是把符號Ｆ作為一個具體的運算符號，而體會不到函數中Ｆ的真正作用，比如學生Ｂ１由Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，得出Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，同時這一部分的學生在后來的學習過程中，一方面由于對自己學習過程缺乏概括和總結的習慣和方法，另一方面可能缺乏對自己的思考過程進行反思，因而無法借助自己已有的經驗理解形式化的符號運算所包含的意義，從而無法實現符號由方法性到結構性的過渡，因而在解決抽象的符號問題時遇到的困難是在所難免的．

　　二、數學符號教學的措施

　　1.在學生感知數學符號的過程中注意引導學生對符號進行主動加工的意識和習慣

　　在調查中我們發(fā)現學習困難的學生理解符號的困難，一方面在于沒有掌握對符號進行加工的方法，而另一方面則在于沒有對符號進行加工的習慣和意識．因此，在教學中，要處處注意引導學生對符號進行加工（即對符號所表達的內涵進行縱橫聯系，以激發(fā)學生頭腦中與此符號有關的知識和經驗），以養(yǎng)成他們遇到符號多思考的習慣．比如，在遇到新的符號時要啟發(fā)學生：這個符號與我們前面學過的哪些知識有聯系和區(qū)別，有什么樣的聯系和區(qū)別等等，所有這些問題都可以有效幫助學生理解數學符號的意義．同時既要引導學生對相同數學內容善于用不同數學符號進行表示，又要引導學生對數學的自然語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化（這種做法對于立體幾何中數學符號的理解特別有效），以幫助學生理解不同符號內在的邏輯聯系和符號自身的數學意義．比如在上述調查學生對直線在平面內和點在平面內的數學符號表示中，當筆者發(fā)現學生對這兩個符號的錯誤理解時，就對學生進行了如下的啟發(fā)和引導：

　�。裕涸诖鷶抵校�集合與集合之間以及元素與集合之間用什么符號表示?

　　Ｂ：集合與集合之間用?表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。裕涸趲缀沃�，我們把點看成元素，而把直線和平面看成集合，那么直線在平面內和點在平面內用符號怎樣表示?

　　此時那幾個學生都正確地寫出了相應的符號．如果教師在教學中時刻注意引導和啟發(fā)學生對符號進行加工和聯系，長此以往學生潛在的加工意識便被喚醒，在遇到數學符號和知識時就會自覺地對符號進行縱橫聯系，這種對知識進行再加工的意識和習慣一旦形成，也會遷移到其他的學習當中，對其他知識的學習也會有很大的幫助．

　　2.加強師生之間的交流促進學生對符號意義的理解和概括

　　在與學生的交談中我們了解到，學生在理解、記憶數學符號方面的障礙，絕大多數發(fā)生在數學符號理解和建構的初期，由于學生沒有及時覺察這種不適當或錯誤的建構，因而就沒能采取及時的補救措施．那么如何在學生理解符號的初期，及時發(fā)現學生理解的障礙和錯誤，我們不妨借鑒維果斯基的社會建構的思想：使學生獲得的知識經受由學生和老師所組成的這個小的社會共同體的檢驗，并為使其符合與社會的要求打下堅實的基礎．因此，在課堂教學中通過學生與學生的交流，使其能學習他人之長，通過教師對數學符號的理解過程的展示，使學生從中得到啟發(fā)，以引起個體對符號的理解進行對比和反思，通過學生與教師的交流，教師可以及時得到學生對符號理解的反饋，從中了解學生對符號的理解情況，以便使學生對自身不合理的建構進行調整和補救．

　　3.提供加工和反思的具體的、可以操作的方法

　　在提高學生對數學符號進行加工意識的同時，要使學生掌握對符號進行再加工的具體方法和措施．比如可以為學生提高反思的清單：這個符號的含義是什么?能用自己的話重新說一遍嗎?這個符號和前面學過的符號之間有聯系嗎?如果有聯系，聯系是什么?我能說出來嗎?這個符號我為什么理解錯了，錯誤的原因我能找到嗎?這些具體的運算中蘊涵有什么規(guī)律嗎?規(guī)律是什么?這個規(guī)律可以用來解決那些問題?等等．

　　總之，我們在對教材進行處理和設計教學情景時，必須首先了解學生對概念、符號、定理的理解情況，掌握學生學習發(fā)生困難的地方和根源，這樣我們才可以針對每一個學生的認知情況，進行適當的教學．

摘自于：《中學數學教學參考》