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下學期 4.5 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式
正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教學設(shè)計示例(一)
教學目標:
1.掌握誘導(dǎo)公式及其推演時過程.
2.會應(yīng)用誘導(dǎo)公式,進行簡單的求值或化簡.
教學重點:
理解并掌握誘導(dǎo)公式.
教學難點:
運用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值,化簡或證明三角函數(shù)式.
教學用具:
三角板、圓規(guī)、投影儀.
教學過程:
1.設(shè)置情境
我們已經(jīng)學過了誘導(dǎo)公式一: , , ,( ),有了它就可以把任一角的三角函數(shù)求值問題,轉(zhuǎn)化為 ~ 間角的三角函數(shù)值問題.那么能否再把 ~ 間的角的三角函數(shù)求值,繼續(xù)化為我們熟悉的 ~ 間的角的三角函數(shù)求值問題呢?如果能的話,那么任意角的三角函數(shù)求值,都可以化歸為銳角三角函數(shù)求值,并通過查表方法而得到最終解決,本課就來討論這一問題.
2.探索研究
(1)出示下列投影內(nèi)容
設(shè) ,對于任意一個 到 的角 ,以下四種情形中有且僅有一種成立.
首先討論 ,其次討論 , 以及 的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,為了使討論更具一般性,這里假定 為任意角.
(2)學習誘導(dǎo)公式二、三的推導(dǎo)過程.
已知任意角 的終邊與單位圓相交于點 ,請同學們思考回答點 關(guān)于 軸、 軸、原點對稱的三個點的坐標間的關(guān)系.
點 關(guān)于 軸對稱點 ,關(guān)于 軸對稱點 ,關(guān)于原點對稱點 (可利用演示課件).
圖1由于 角的終邊與單位圓交于 ,則 的終邊就是角 終邊的反向延長線,角 的終邊與單位圓的交點為 ,則 是與 關(guān)于 對稱的點.所以 ,又因單位圓半徑 ,由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義,可得
于是得到一組公式(公式二)
我們再來研究角 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,如圖2,利用單位圓作出任意角 與單位圓相交于點 ,角 的終邊與單位圓相交于點 ,這兩個角的終邊關(guān)于 軸對稱,所以
∵
∴
于是又得到一組公式(公式三)
【例1】求下列三角函數(shù)值:
。1) (2) ;
。3) ;(4) .
解:(1)
(2)
(3)
(4)
【例2】化簡:
解:∵
∴ 原式
(3)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式四、五
請同學們思考如何利用已學過的誘導(dǎo)公式推導(dǎo) , 與 的三角函值之間的關(guān)系?由誘導(dǎo)公式我們可以得到
:
由此可得公式四、五
公式一、二、三、四、五都叫做誘導(dǎo)公式.概括如下: , , , 的三角函數(shù)值,等于 的同名函數(shù)值,前面加上一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號,簡化成“函數(shù)名不變,符號看象限”的口訣.
【例3】求下列各三角函數(shù):
。1) ; 。2) .
解:(1)
(2)
.
觀察以上的解題過程,請同學們總結(jié),利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟.
學生回答后老師總結(jié)得出,在求任意角的三角函數(shù)值時一般可按以下步驟:
運用誘導(dǎo)公式解題的本質(zhì)是多次運用“化歸”思想方法,化負角為正角,化 到 的角為 到 間的角,再求值的過程.
3.演練反饋(投影儀)
(1)已知 ,求 的值
(2)已知 ,求 的值
(3)已知 ,求 的值
參考答案:
。1)若 為Ⅳ象限角,則
若 為Ⅰ象限角,則
。2)
。3)∵
∴
4.本課小結(jié)
。1)求任意角的三角函數(shù)式的一般程序:負(角)變正(角)→大(角)變小(角)→(一直)變到 ~ 之間(能查表).
。2)變角是有一定技巧的,如 可寫成 ,也可以寫成 不同表達方法,決定著使用不同的誘導(dǎo)公式.
(3)湊角方法也體現(xiàn)出很大技巧。如,已知角“ ”,求未知角“ ”,可把 改寫成 .
課時作業(yè):
1.已知 , 是第四象限角,則 的值是( )
A. B. C. D.
2.下列公式正確的是( )
A. B.
C. D.
3. 的成立條件是( )
A. 為不等于 的任意角 B.銳角
C. D. , 且
4.在 中,下列各表達式為常數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
5.化簡
。1)
(2)
6.證明恒等式
參考答案:
1.A; 2.D; 3.D; 4.C; 5.(1)0,(2) ;
6.左
右
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