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正弦和余弦

時間:2022-08-17 02:17:35 九年級數學教案 我要投稿
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正弦和余弦


教學建議

  1.知識結構:本小節(jié)主要學習正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一個銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關系,以及應用上述知識解決一些簡單問題(包括引言中的問題)等.

  2.重點、難點分析

 。1) 正弦、余弦函數的定義是本節(jié)的重點,因為它是全章乃至整個三角學的預備知識.有了正弦、余弦函數的定義,再學習正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數便都有了基礎.

  (2) 正弦、余弦的概念隱含著角度與數值之間有一一對應關系的函數思想,并且用含有幾個字母的符號組sinA,cosA來表示,學生過去未接觸過,所以正弦、余弦的概念是難點.

  3.理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函數的核心.

  銳角的正弦、余弦值是這樣規(guī)定的:當一個銳角確定了,那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個,但它們都是彼此相似的.如上圖,當 確定時,包含 的直角三角形有無窮多個,但它們彼此相似:

   ∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的對應邊成比例,所以這些三角形的對應邊的比都是相等的.

  

  這就是說,每當一個銳角確定了,包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了,它們有確定不變的對應關系.為了簡單地表達這些對應關系,我們引入了正(余)弦的說法,創(chuàng)造了sin 和cos這樣的符號.

  應當注意:單獨寫出三角函數的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義;另一方面,這些符號和角寫在一起時(如 ),它表示的就不再是角,而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了(如 ).真正理解并掌握這些,才真正掌握了這些符號的含義,才能正確地運用它們.

  4. 我們應當學會認識任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.

  我們不僅應當熟練掌握如圖那樣的標準位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式,而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如, 如圖所示,若 ,則有

  有的直角三角形隱藏在更復雜的圖形中,我們也應能正確地寫出所需要的三角函數表達式,如圖中,ABCD是梯形, ,作 , 我們應正確地寫出如下的三角函數關系式:

  

  

  很顯然,這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數量關系.

  5.特殊角的正弦、余弦值既容易導出,也便于記憶,應當熟悉掌握它們.

  利用勾股定理,很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比;如圖(1)和圖(2)所示.

  根據定義,有

  

  另一方面,可以想像,當 時,邊 與AC重合(即 ),所以

  當 時,邊AB與CB重合(即AB=CB),AC的長縮小為0,于是,有

  把以上結果可以集中列出下面的表:

 

0

1

1

0

  6.教法建議:

 。1)聯系實際,提出問題

  通過修建揚水站時,要沿斜坡鋪設水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題,第一步把這問題歸結于直角三角形中,第二步,再把這個問題歸于直角三角形中,已知一個銳角和斜邊的長,求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題.同時指出在這種情況下,用已學過的勾股定理是解決不了的.激發(fā)學生的學習興趣,調動學生探索新途徑,迫切需要學習新知識的積極性.在這章的第一節(jié)課,應抓住這個具有教育性,富于啟發(fā)性的有利開端,為引進本章的重要內容:銳角三角函數作了十分必要的準備.

  (2) 動手度量、總結規(guī)律、給出定義以含 的三角板為例讓學生對大小不同的三角板進行度量,并引導學生得出規(guī)律: ,再進一步對含 的三角板進行度量,在探索同樣的內容時,要用到勾股定理,又類似地得到,所有的這種等腰直角三角形中,都會得到 ,這時,應當即給出 的正弦的定義及符號,即 ,再對照圖形,分別用a、b、c表示 、 、 的對邊,得出 及 , 就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數的第一個定義,應充分利用課本中這種簡練的處理手段,使學生建立起銳角三角函數的概念.

  (3)加強數形結合思想的教學

  “解直角三角形”編在幾何教材中,突出了它的幾何特點,但這只是從知識的系統(tǒng)性方面講的,使它與幾何前后知識可關系更緊密,便于學生理解和掌握,并沒有改變它形數結合的本質,因此教學中要充分利用這部分教材,幫助學生掌握用代數方法解決幾何問題的方法,提高在幾何問題中注意運用代數知識的能力.

第一課時

  一、教學目標

  1. 使學生知道當直角三角形的銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實。

  2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。

  3.引導學生探索、發(fā)現,以培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習習慣。

  二、學法引導

  1.教學方法:引導發(fā)現和探索研究相結合,嘗試成功教法。

  2.學生學法:在教師的指導下,積極思維,相互討論,動手感知,探索新知。

  三、重點、難點、疑點及解決辦法

  1.重點:使學生知道當銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實。

  2.難點:學生很難想到對任意銳角,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實,關鍵在于教師引導學生比較、分析,得出結論。

  3.疑點:無論直角三角形的銳角為何值,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。

  4.解決辦法:教師引導學生比較、分析、討論,解決重難點和疑點。

  四、教具準備

  自制投影片,一副三角板

  五、教學步驟

  (一)明確目標

  1.如圖,長5米的梯子架在高為3米的墻上,則 、 間距離為多少米?

  2.長5米的梯子以傾斜角 為30°靠在墻上,則 、 間的距離為多少?

  3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上,則 、 間距離為多少?

  4.若長5米的梯子靠在墻上,使 、 間距離為2米,則傾斜角為多少度?

  前兩個問題學生很容易回答,這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶,并使學生意識到,本章要用到這些知識,但后兩個問題的設計卻使學生感到疑惑,這對初三年級這些好奇、好勝的學生來說,起到激起學生的學習興趣的作用,同時使學生對本章所要學習的內容的特點有一個初步的了解,有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的,解決這類問題,關鍵在于找到一種新方法,求出一條邊或一個未知銳角,只要做到這一點,有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來。

  通過四個例子引出課題。

 。ǘ┱w感知

  1.請每一位同學拿出自己的三角板,分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值。

  學生很快便會回答結果:無論三角尺大小如何,其比值是一個固定的值,程度較好的學生還會想到,以后在這些特殊直角三角形中,只要知道其中一邊長,就可求出其他未知邊的長。

  2.請同學畫一個含40°角的直角三角形,并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值,學生又高興地發(fā)現,不論三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分學生可能會想到,當銳角取其他固定值時,其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎?

  這樣做,在培養(yǎng)學生動手能力的同時,也使學生對本節(jié)課要研究的知識有了整體感知,喚起學生的求知欲,大膽地探索新知。

 。ㄈ教學過程

   1.通過動手實驗,學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”,但是怎樣證明這個命題呢?學生這時的思維很活躍,對于這個問題,部分學生可能能解決它,因此教師此時應讓學生展開討論,獨立完成。

  2.學生經過研究,也許能解決這個問題.若不能解決,教師可適當引導:

  若一組直角三角形有一個銳角相等,可以把其頂點 , , 重合在一起,記作 ,并使直角邊 , , ……落在同一條直線上,則斜邊 , , ……落在另一條直線上,這樣同學們能解決這個問題嗎?引導學生獨立證明:易知, ……,∴ ∽ ∽ ∽……,∴ , ,因此,在這些直角三角形中, 的對邊、鄰邊與斜邊的比值,是一個固定值。

  通過引導,使學生自己獨立掌握了重點,達到知識教學目標,同時培養(yǎng)學生能力,進行了德育滲透。

  而前面導課中動手實驗的設計,實際上為突破難點而設計。這一設計同時起到培養(yǎng)學生思維能力的作用。

  3.練習:教科書P3練習。此題為 作了孕伏,同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來。

 。ㄋ模┛偨Y、擴展

  1.引導學生作知識總結:本節(jié)課在復習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上,通過動手實驗、證明,我們發(fā)現,只要直角三角形的銳角固定,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。

  教師可適當補充:本節(jié)課經過同學們自己動手實驗,大膽猜測和積極思考,我們發(fā)現了一個新的結論,相信大家的邏輯思維能力又有所提高,希望大家發(fā)揚這種創(chuàng)新精神,變被動學知識為主動發(fā)現問題,培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識。

  2.擴展:當銳角為30°時,它的對邊與斜邊比值我們知道,今天我們又發(fā)現,銳角任意時,它的對邊與斜邊的比值也是固定的,如果知道這個比值,已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了,看來這個比值很重要,下節(jié)課我們就著重研究這個“比值”,有興趣的同學可以提前預習一下,通過這種擴展,不僅對下、余弦概念有了初步印象,同時又激發(fā)了學生的興趣。

  六、布置作業(yè)

  本節(jié)課內容較少,而且是為正、余弦概念打基礎的,因此課后應要求學生預習正余弦概念。

  七、板書設計

 
第二課時

  一、教學目標

  1.使學生初步了解正弦、余弦概念;能夠較正確地用 、 表示直角三角形中兩邊的比;熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根據這些值說出對應的銳角度數.

  2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

  3.滲透教學內容中普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點.

  二、學法引導

  1.教學方法:指導發(fā)現探索法.

  2.學生學法:自主、合作、探究式學習.

  三、重點、難點、疑點及解決方法

  1.教學重點:使學生了解正弦、余弦概念.

  2.教學難點:用含有幾個字母的符號組 、 表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.

  3.疑點:銳角的正弦、余弦值的范圍.

  4.解決辦法:通過舊知創(chuàng)設情境,采用從特殊到一般的方法,引導學生進行探究式學習,從而解決重難點及疑點.

  四、教具準備

  三角板一副

  五、教學步驟

 。ㄒ唬┟鞔_目標

  1.引導學生回憶“直角三角形銳角固定時,它的對與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”

  2.明確目標:這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值—正弦和余弦.

 。ǘ┱w感知

  當直角三角形有一銳角為30°時,它的對邊與斜邊的比值為 ,只要知道三角形任一邊長,其他兩邊就可知.

  而上節(jié)課我們發(fā)現,只要直角三角形的銳角固定,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定,這樣只要能求出這個比值,那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

  通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比,學生自然產生想學習的欲望,產生濃厚的學習興趣,同時對以下要研究的內容有了大體印象.

 。ㄈ教學過程

  正弦、余弦的要領是全章知識的基礎,對學生今后的學習與工作都十分重要,因此確定它為本課重點,同時正、余弦概念隱含角度與數之間具有一一對應的函數思想,又用含幾個字母的符號組來表示,因此概念也是難點.

  在上節(jié)課研究的基礎上,引入正、余弦,“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖

  請學生結合圖形敘述正弦、余弦定義,以培養(yǎng)學生概括能力及語言表達能力,教師板書:在 中, 為直角,我們把銳角 的對邊與余邊的比叫做 的正弦,記作 ,銳角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦,記作 .

   .

  若把 的對邊 記作 ,鄰邊 記作 ,斜邊 記作 ,則 , .

  引導學生思考:當 為銳角時, 、 的值會在什么范圍內?得結論 , ( 為銳角),這個問題對于較差學生來說有些難度,應給學生充分思考時間,同時這個問題也使學生將數與形結合起來.

  教材例1的設置是為了鞏固正弦概念,通過教師示范,使學生會求正弦,這里不妨增問“ 、 ”,經過反復強化,使全體學生都達到目標,更加突出重點.

  【例1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值.

  

  解:(1)∵斜邊 ,

  ∴ , .

   , .

  (2) , .

   ,

  ∴ , .

  學生練習教材P6~7中1、2、3題.

  讓每個學生畫含30°、45°的直角三角形,分別求 、 、 和 、 、 .這一練習既用到以前的知識,又鞏固正弦、余弦的概念,經過學習親自動筆計算后,對特殊角三角函數值印象很深刻.

   , , .

   , , .

  【例2】求下列各式的值:

 。1) ;(2) .

  解:(1) .

 。2) .

  這了使學生熟練掌握特殊角三角函數值,這里還應安排六個小題:

 。1) ;(2) ;

  (3) ;(4) .

 。5)若 ,則銳角 .

 。6)若 ,則銳角 .

  在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數值后,引導學生思考,“請大家觀察特殊角的正弦和余弦值,猜測一下, 大概在什么范圍內, 呢?”這樣的引導不僅培養(yǎng)學生的觀察力、注意力,而且培養(yǎng)學生勇于思考、大膽創(chuàng)新的精神,還可以進一步請成績較好的同學用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小”.

 。ㄋ模┛偨Y、擴展

  首先請學生作小結,教師適當補充,“主要研究了銳角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值,知道任意銳角A的正、余弦值都在0~1之間,即

   ,   ( 為銳角).

  還發(fā)現 的兩銳角 、 , , ,正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小”.

  六、布置作業(yè)

  教材P10中2,3.

  預習下一課內容.

  補充:(1)若 ,則銳角 .

 。2)若 ,則銳角 .

  七、板書設計

  



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