數學教案－二次根式的化簡

教學建議

　　知識結構

 

　　重難點分析

　　本節(jié)的重點是 的化簡.本章自始至終圍繞著二次根式的化簡與計算進行，而 的化簡不但涉及到前面學習過的算術平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質，還要牽涉到絕對值以及各種非負數、因式分解等知識，在應用中常常需要對字母進行分類討論.

　　本節(jié)的難點是正確理解與應用公式

.

　　這個公式的表達形式對學生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學生往往容易出現錯誤.

　　教法建議

　　1.性質的引入方法很多，以下2種比較常用：

　　（１）設計問題引導啟發(fā)：由設計的問題

　　1） 、 、 各等于什么？

　　2） 、 、 各等于什么？

　　啟發(fā)、引導學生猜想出

　�。�2）從算術平方根的意義引入．

　　2．性質的鞏固有兩個方面需要注意：

　　（1）注意與性質 進行對比，可出幾道類型不同的題進行比較；

　�。�2）學生初次接觸這種形式的表示方式，在教學時要注意細分層次加以鞏固，如單個數字，單個字母，單項式，可進行因式分解的多項式，等等．

 

（第1課時）

　　一、教學目標

　　1.掌握二次根式的性質

　　

　　2.能夠利用二次根式的性質化簡二次根式

　　3.通過本節(jié)的學習滲透分類討論的數學思想和方法

　　二、教學設計

　　對比、歸納、總結

　　三、重點和難點

　　1.重點：理解并掌握二次根式的性質

　　2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數，并能根據字母的取值范圍正確地化簡有關的二次根式．

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、多媒體

　　六、師生互動活動設計

　　復習對比，歸納整理，應用提高，以學生活動為主

　　七、教學過程（www.thephantastics.com）

　　一、導入新課

　　我們知道，式子 （ ）表示非負數 的算術平方根．

　　問：式子 的意義是什么？被開方數中的 表示的是什么數？

　　答：式子 表示非負數 的算術平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數．

　　二、新課

　　計算下列各題，并回答以下問題：

　�。�1） ；　　�。�2） ；　　�。�3） ；

　�。�4） ；　�。�5） ；�。�6）

　�。�7） ；　（8）

　　1．各小題中被開方數的冪的底數都是什么數？

　　2．各小題的結果和相應的被開方數的冪的底數有什么關系？

　　3．用字母 表示被開方數的冪的底數，將有怎樣的結論？并用語言敘述你的結論．

　　答：

　�。�1） ；�。�2） ；�。�3） ；

　　（4） ；�。�5） ；�。�6）

　　（7） ；�。�8） ．

　　1．（1），（2），（3）各題中的被開方數的冪的底數都是正數；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數的冪的底數都是負數；（8）題被開方數的冪的底數是0．

　　2．（1），（2），（3），（8）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數分別互為相反數．

　　3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數的冪的底數，有

　（ ），

　　用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數的冪的底數，有

�。� ）．

　　一個非負數的平方的算術平方根，等于這個非負數本身；一個負數的平方的算術平方根，等于這個負數的相反數．

　　問：請把上述討論結論，用一個式子表示．（注意表示條件和結論）

　　答：

　　請同學回憶實數的絕對值的代數意義，它和上述二次根式的性質有什么聯系？

　　答：

　　填空：

　　1．當 _________時， ；

　　2．當 時， ，當 時， ；

　　3．若 ，則 ________；

　　4．當 時， ．

　　答：

　　1．當 時， ；

　　2．當 時， ，

　　　當 時， ；

　　3．若 ，則 ；

　　4．當 時， ．

　　例1  化簡   （ ）．

　　分析：可以利用積的算術平方根的性質及二次根式的性質化簡．

　　解  ，因為 ，所以 ，所以

．

　　指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據已知條件中 的取值范圍，確定其結果．

　　例2  化簡   （ ）．

　　分析：根據二次根式的性質，當 時， ．

　　解   ．

　　例3  化簡：（1） （ ）；�。�2） �。� ）．

　　分析：根據二次根式的性質，當 時， ．

　　解  （1） ．

　　　　（2） ．

　　注意：（1）題中的被開方數 ，因為 ，所以 ．

　　（2）題中的被開方數 ，因為 ，所以 ．

　　這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出．

　　例4  化簡 ．

　　分析：根據二次根式的性質，有

．

　　所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡．

　　解  因為 ， ，所以

， ．

　　所以

　　　 ．

　　三、課堂練習

　　1．求下列各式的值：

　�。�1） ；　　（2） ．

　　2．化簡：

　�。�1） ；　�。�2） ；

　�。�3） （ ）；�。�4） 　（ ）．

　　3．化簡：

　�。�1） ；　　　�。�2） ；

　�。�3） ；　　（4） ；

　�。�5） ；　（6） （ ）．

　　答案：

　　1．（1）0.1；�。�2） ．

　　2．（1） ；�。�2） ；�。�3） ；�。�4） ．

　　3．（1）4；�。�2）1.5；�。�3）0.09；�。�4）－1；　（5）4；　（6）－1．

　　四、小結

　　1．二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數．

　　2．化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據已知條件中字母 的取值范圍，確定其結果．

　　3．在化簡中，注意運用題設中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件．

　　五、作業(yè)

　　1．化簡：

　�。�1） ；　　　�。�2） ；

　�。�3） �。� ）；　�。�4） 　（ ）；

　　（5） ；　　　�。�6） （ ， ）；

　�。�7）   （ ）．

　　2．化簡：

　�。�1） ；

　　（2） （ ）；

　　（3） （ ， ）．

　　答案：

　　1．（1）－30；�。�2） ；�。�3） ；

　�。�4） ；�。�5） ；�。�6） ；�。�7） ．

　　2．（1）2；�。�2）0；�。�3） ．

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